updated:  2026 05. March
published:  2021 28. May

Statistische Methoden

Statistische Methoden in der Immobilienbewertung

Statistische Methoden

… in der Immobilienbewertung sind:

  • Mittelwertermittlung
  • Normalverteilungsfunktion
  • Varianz- und Standardabweichung
  • Regressions- und Korrelationsrechnung

Median

Der Median ist der mittlere Wert einer Zahlenfolge.

  • ungerade Anzahl der Zahlenfolge [1,3,4,7,9,18,22] Median = 7
  • gerade Anzahl der Zahlenfolge     [1,3,4,9,18,22]    Median = 6.5 (arithmetische Mittel beiden mittleren Zahlen (4+9)/2)

Arithmetische Mittel

Das arithmetische Mittel (Durchschnitt) ist die Summe einer Zahlenfolge geteilt durch seine Anzahl. Der Mittelwert ist ein Schätzwert für den wahren Wert (Erwartungswertes).

Geometrische Mittel

Das geometrische Mittel ist das Produkt einer Zahlenfolge und dessen n-te Wurzel daraus. Wobei n die Anzahl der Zahlen ist. Im Prinzip ist das geometrische Mittel gleich zu setzen mit dem goldenen Schnitt.

Spannweite

Die Spannweite ist das einfachste Streuungsmaß einer Stichprobe und eignet sich nur für die Beurteilung kleiner Stichproben.

Residuum

Ein Residuum ist die Differenz zwischen einem tatsächlichen Wert und einem vorhergesagten Wert (z.B. einem arithmetischen Mittel). Im Prinzip ist das Residuum der Abstand des tatsächlichen Wertes von einer geschätzten Regressionsgeraden. Zufällig verteilte Residuen deuten auf ein gutes statistisches Modell. Weisen Residuen systematische Muster auf, dann könnten wichtige Faktoren übersehen worden sein.

$$ \Large x_i - \bar{x} $$

Homoskedastizität - Gleichheit der Streuung

Homoskedastizität bedeutet, dass die Varianz (Maß der Streuung) der Residuen in einem Regressionsmodell über alle Werte der unabhängigen Variable hinweg konstant ist.

$$ \Large \operatorname{Var}(\varepsilon_i) = \sigma\mkern4mu^2 = konstant$$

In der klassischen linearen Regression wird Homoskedastizität angenommen. Nur unter dieser Annahme sind die üblichen Standardfehlerformeln korrekt und statistische Tests (t-Tests, F-Tests, Konfidenzintervalle) zuverlässig.

Standardabweichung

Die Standardabweichung ist ein zusammenfassendes Maß für die Streuung einzelner Werte von einem Durchschnittswert (z.B. Mittelwert) in ihrer ursprünglichen Einheit. Ein Vergleich der einzelnen Werte mit der Standardabweichung läßt Ausreisser erkennen.

$$ \Large s = \sqrt{ \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 } $$

Standardabweichung des Mittelwertes

Die Standardabweichung des Mittelwertes wird auch Standardfehler des Mittelwertes genannt. Wie bereits erwähnt, wird durch n-1 eine Stichprobe betrachtet. Mit der Standardabweichung des Mittelwertes lässt sich die Genauigkeit der Stichprobe zur Grundgesamtheit bzw. Gesamtheit der Population bestimmen. Je größer der Stichprobenumfang n umso besser ist die Auswertung und umso kleiner sollte dann Sm sein.

$$ \Large s_{m} = { \frac{s}{\sqrt{n}} } $$

Standardabweichung vs. Varianz

Die Varianz ist ein Maß für die Streuung; sie ist die mittlere quadratische Abweichung einer Zufallsvariablen vom Erwartungswert. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz und liefert dieselbe Information in den ursprünglichen Einheiten der Daten/Meßwerte, wodurch die Streuung anschaulicher interpretierbar wird.

$$ \Large \operatorname{Var}(X) = E\big[(X - E(X))\mkern4mu^2\big] $$

$$ \Large \operatorname{Var}(X) = {Standardabwg.}\mkern4mu^2 $$

$$ \Large Standardabwg. = \sqrt{\operatorname{Var}(X)} $$

Übrigens spricht man von einer empirischen Varianz wenn nur ein Teil der Gesamtheit, also eine Stichprobe, betrachtet wird. Dann werden die quadrierten und aufsummierten Werte durch n-1 geteilt. Bei einer gesamten Betrachtung (Population) wird durch n geteilt (wahre Varianz).

Ausreißertest mit Z-Score

Mittels Z-Score lässt sich relative einfach ein Ausreißer ermitteln, in dem von einem Datenwert der Mittelwert aller Daten abgezogen (subtrahiert) und durch die Standardabweichung (empirischen Varianz) geteilt wird. Das Ergebnis wird mit einem Schwellwert verglichen, der das x-fache der Standardabweichung repräsentiert. Ein Ausreißer liegt dann vor, wenn das Ergebnis den Schwellwert über- oder unterschreitet.

Durch den Einfluss der Ausreißer auf Mittelwert und Standardabweichung wird der Z-Score verfälscht. Dann ist es sinnvoll die Ausreißer zu entfernen und den Z-Score neu zu berechnen (iterative Ausreißerbereinigung).

Beim klassischen Z-Score werden Mittelwert und Standardabweichung der Stichprobe verwendet.

$$ \Large Z_{Score} = \frac{x_i - \bar{x}}{s} $$

Der robuste Z-Score verwendet den Median und dessen absolute Abweichung MAD. Der theoretische Korrekturfaktor 1,4826 skaliert die absolute Abweichung auf die Standardabweichung einer Normalverteilung und ist immer konstant.

$$ \Large Z_{Score}^{\mkern5mu{\small\text{robust}}} = \frac{x_i - {Median}}{1{,}4826 \cdot MAD} $$

Grundlagen der Statistik

Stichworte (tags)